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质数螺旋图的意义

2010年03月03日 | 分类: 创意, 发明, 技术

斯塔尼斯拉夫•乌拉姆(Stanislaw Ulam)(1909年 - 1984年)是一位美籍波兰数学家。他曾参与曼哈顿计划(二站核武器),亦有参与研究核能推动的航天飞机。



虽然核武器不是好事,从乌拉姆教授的身上我们可以学到一种相当有价值的事情。他1963年在会议无聊中在一张草稿纸上画了一个简单的整数螺旋,像下述:



然后他圈起来了螺旋上的质数,像下述:



圈完了他发现螺旋上的质数看来显出非随机的模式。那天回家了以后,他马上就把这个螺旋画了更大,而确认了他头次的观察。几个月以后,这个质数螺旋图(也被称素数螺旋图,国外叫作 Ulam spiral — “乌拉姆螺旋”)出现在《科学美国人》杂志(Scientific American)的1964年3月份的封面上,让全世界发现质数的主要特性之一。从下述的到数字25600的质数螺旋图,用黑点代表质数、白点代表非质数,斜纹模式很清楚地看出来:



因为从古时,质数定理早就使人着迷。2300年前,古希腊的欧几里得所著的《几何原本》里已经描述质数主要特性。古代数学家早试图掌握质数的分布规律,不过他们发现这相当不容易。


1975年在德国波恩大学马克斯•普朗克数学研究所,美国数学家Don Zagier在他的就职教课用了一个很新颖的方法来描述问题:“关于质数分布,有两种事实我希望能够压倒地说服你们,到使永远铭记在你们的心上。第一个就是虽然可以简单地把质数定义作为自然数的积木,质数如同杂草在自然数中生长,看来除了机遇率之外不遵守任何规定,无法预测下个将长在哪儿。第二个事实更惊人的,因为它是恰恰相反:质数显出令人惊讶的规则性,具有管理它们的行为规律,并它们甚至像用军事精确遵守这些规律。”(Julian Havil , “Gamma: Exploring Euler’s Constant”, 第171页)


到数字130万的螺旋图可以在这里下载。一看到这个图像,我想起三件事:


第一,这种无模式却有模式、无规律却有规律的本性就使我想起道家大师讨论“道”和宇宙的神秘,如同《道德经》:“绳绳不可名,复归于无物。是谓无状之状,无物之象”(译文:“延绵不绝却又不可称名,一切运动都又回复到无形无象的状态。这就是没有形状的形状,不见物体的形象。”)


《庄子•庚桑楚》也有:“出无本,入无窍。有实而无乎处,有长而无乎本剽,有所出而无窍者有实。有实而无乎处者,宇也;有长而无本剽者,宙也。有乎生,有乎死,有乎出,有乎入,入出而无见其形,是谓天门。”(译文:“产生没有根本,消逝没有踪迹。具有实在的形体却看不见确切的处所,有成长却见不到成长的始末,有所产生却没有产生的孔窍的情况又实际存在着。具有实在的形体而看不见确切的处所的,是因为处在四方上下没有边际的空间中。有成长却见不到成长的始末,是因为处在古往今来没有极限的时间里。存在着生,存在着死,存在着出,存在着入,入与出都没有具体的形迹,这就叫做自然之门”)


以前读这段文字,觉得概念都特别抽象。但一看到质数螺旋图,突然觉得能明白、能看到、甚至能接触这些宇宙的概念。


第二,做出这个螺旋图并不需要像乌拉姆教授那么高水平的数学知识。也不需要实验室或者什么高科技设备。本来每个毕业小学的人能做到。也不仅是现今,而且到2000年前的数学家做得到。不过1963年才有人想到试试。可能每天我们有机会发现什么奇妙的东西,只需要我们尝试。


第三,世界领先学家除了他们的专业知识之外,看来和一般人还有另外一个区别:他们很愿意不断地实验、包括一些乍一看没任何用的实验。虽然每个人都做得到实验,一般人都低估实验有多么重要。


这也是本网站的主要论点:科学和艺术方面的创新依靠同样的原则:创意。因为它是人类前进的主要因素,我们都有责任把这个创造力开掘出来。


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